Recta que corta la circunferencia en dos puntos

Recta que corta la circunferencia en dos puntos

Circunferencia de un círculo

Fig. 1. Para hallar la ecuación de una circunferencia, observa que cada punto de la misma forma un triángulo rectángulo cuyos lados son la distancia x y la distancia y y cuya hipotenusa es r. El teorema de Pitágoras nos dice que x 2 + y 2 = r 2. Para los puntos situados fuera de la circunferencia, x 2 + y 2 es superior a r 2; dentro de ella, x 2 + y 2 es inferior a r 2. En la intersección de estas dos regiones la ecuación se equilibra. Todas las curvas matemáticas dividen el espacio de esta manera.

A y B son dos puntos cualesquiera del círculo. O es el centro. Q es un punto cualquiera del círculo. El ángulo en Q, marcado con x, es “el ángulo en la circunferencia”. El ángulo en O, marcado con xx, es “el ángulo en el centro”. Es el doble de grande que el ángulo x.

A, B, R y S son cuatro puntos del círculo. El teorema dice que los ángulos marcados con x son iguales. Observa que R y S deben estar entre A y B, por lo que el orden es ARSB o ARBS. Si el orden fuera ARBS, se aplicaría el teorema 19.

Este teorema trata de los productos de las partes de las cuerdas que se cruzan. A, B, C y D son puntos de una circunferencia. AB cruza a CD en O. El teorema dice que AO.OB = CO.OD (ilustración superior). Si utilizamos a, b, c y d para representar las longitudes indicadas, podemos escribir el resultado como: ab = cd. Si las rectas AB y CD se encuentran fuera del círculo (ilustración inferior), el resultado AO.OB = CO.OD sigue siendo válido.

Diámetro

Hasta ahora, la mayor parte de la geometría se ha centrado en los triángulos y los cuadriláteros, que están formados por intervalos de líneas, y ahora pasamos a la geometría de los círculos. Las líneas y los círculos son las figuras más elementales de la geometría -una línea es el lugar de un punto que se mueve en una dirección constante, y un círculo es el lugar de un punto que se mueve a una distancia constante de algún punto fijo- y todas nuestras construcciones se hacen dibujando líneas con una regla y círculos con compás. En este módulo se introducen las tangentes, que posteriormente se convierten en la base de la diferenciación en el cálculo.

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Los teoremas de la geometría del círculo no son intuitivamente obvios para el estudiante, de hecho la mayoría de la gente se sorprende de los resultados cuando los ve por primera vez. Está claro que hay que demostrarlos con cuidado, y la astucia de los métodos de demostración desarrollados en módulos anteriores se muestra claramente en este módulo. La lógica se vuelve más complicada: a menudo es necesario dividir los casos, y los resultados de las diferentes partes de los módulos de geometría anteriores se unen a menudo en una sola demostración. Tradicionalmente, los alumnos adquieren un mayor respeto y aprecio por los métodos matemáticos gracias al estudio de este imaginativo material geométrico.

Teoremas de la geometría del círculo

La secante de una circunferencia es una línea que corta a una circunferencia en dos puntos distintos. La secante deriva de la palabra latina secare, que significa cortar. También puede entenderse como la prolongación de la cuerda de una circunferencia que sale del círculo.

Cuando una recta secante corta al círculo en dos puntos, obtenemos una cuerda en los dos puntos de intersección. La cuerda de una circunferencia es un segmento de línea cuyos puntos extremos se encuentran en el arco de la circunferencia. En la circunferencia mostrada arriba, AB es la cuerda que es una parte de la recta secante QP. En otras palabras, una cuerda es un segmento de línea que une dos puntos de la circunferencia del círculo, y si esta cuerda se extiende por ambos lados se convierte en la secante. La recta secante que pasa por el centro de la circunferencia produce el diámetro. Por tanto, una recta secante determina la cuerda o el diámetro de una circunferencia.

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En la vida real, nos encontramos con la secante de un círculo en muchos lugares, siempre que se trate de círculos o curvas. Por ejemplo, en la construcción de puentes curvos, en la búsqueda de la distancia entre la luna en órbita y los diferentes lugares de la tierra, etc. Hay muchas propiedades interesantes de las secantes que ayudan en construcciones geométricas oscuras. Hay muchos teoremas de círculos basados en las secantes y las secantes de intersección de un círculo.

Radio

Un círculo es una forma simple que consiste en los puntos que se encuentran en un plano bidimensional que equidistan de algún punto común (el centro del círculo) en ese plano. Los círculos suelen llevar el nombre del punto definido como centro del círculo, por lo que en el ejemplo que se muestra a continuación podríamos referirnos al círculo como círculo A. La forma es, de hecho, un ejemplo de curva cerrada simple (a veces llamada curva de Jordan, en honor al matemático francés Camille Jordan). Según el teorema de la curva de Jordan, una curva cerrada simple divide el plano en el que se encuentra en dos regiones: una región interior delimitada por la curva y una región exterior que contiene todos los puntos exteriores, de modo que una trayectoria continua que conecte cualquier punto de una región con cualquier punto de la otra región debe intersecar la curva en algún punto. Aunque esto puede parecer intuitivamente obvio, proporcionar una prueba matemática no es una tarea fácil.

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La humanidad conoce el círculo como forma geométrica desde los albores de la historia, y hay innumerables ejemplos de círculos que se dan en el mundo natural. Tanto el sol como la luna llena aparecen como formas circulares en el cielo. Los ojos de muchos animales, aves, peces e insectos tienen forma circular, al igual que varias frutas y bayas. Probablemente se le ocurran muchos más ejemplos que se dan en la naturaleza. El círculo es también una forma muy importante en muchos campos del quehacer humano, como la ciencia y la ingeniería. Uno de los primeros y más importantes inventos de la historia de la civilización, por ejemplo, fue la rueda. Las tuberías que transportan el agua y el gas, y los cables que transportan la energía eléctrica y las señales de comunicación, tienen todos una sección transversal circular. Incluso las monedas que utilizamos y los platos en los que comemos suelen ser circulares.

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