Ley de gauss para el campo electrico

Ley de gauss para el campo electrico

Campo eléctrico dentro de una esfera sólida

La ley de Gauss para los campos eléctricos se entiende más fácilmente despreciando el desplazamiento eléctrico (\(\mathbf{d}\)). En la materia, la permitividad dieléctrica puede no ser igual a la permitividad del espacio libre (es decir, \(\varepsilon \neq \varepsilon_0\)). En la materia, la densidad de cargas eléctricas puede separarse en una densidad de carga “libre” (\(\rho_f\)) y una densidad de carga “limitada” (\(\rho_b\)), de tal manera que:

La densidad de carga libre se refiere a las cargas que fluyen libremente bajo la aplicación de un campo eléctrico, es decir, que producen una corriente sin divergencia. La densidad de carga limitada se refiere a las cargas eléctricas atribuidas a la polarización eléctrica (\mathbf{p}\)). Combinando las ecuaciones (38) y (39) con nuestra definición de polarización eléctrica, encontramos que

Superficie gaussiana

En física, la ley de Gauss, también conocida como teorema del flujo de Gauss, es una ley que relaciona la distribución de la carga eléctrica con el campo eléctrico resultante. La ley de Gauss, en términos sencillos, afirma que : el flujo eléctrico que atraviesa cualquier superficie cerrada es proporcional a la carga eléctrica encerrada.

Para aplicar la ley de Gauss hay que obtener el flujo a través de una superficie cerrada. La convención utilizada para definir el flujo como positivo o negativo es que el ángulo debe medirse con respecto a la perpendicular erigida en el exterior de la superficie cerrada: las líneas de campo que salen del volumen hacen una contribución positiva, y las líneas de campo que entran en el volumen hacen una contribución negativa.

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Cualquier “ley del cuadrado inverso” puede formularse de forma similar a la ley de Gauss. Por ejemplo, la propia ley de Gauss es esencialmente equivalente a la ley de Coulomb inversa al cuadrado, y la ley de Gauss para la gravedad es esencialmente equivalente a la ley de Newton inversa al cuadrado.

Flujo eléctrico

La ley de Gauss es muy útil para determinar las expresiones del campo eléctrico, aunque la ley no se refiere directamente al campo eléctrico, sino al flujo eléctrico. Resulta que en situaciones que tienen ciertas simetrías (esféricas, cilíndricas o planas) en la distribución de cargas, podemos deducir el campo eléctrico a partir del conocimiento del flujo eléctrico. En estos sistemas, podemos encontrar una superficie gaussiana S sobre la que el campo eléctrico tiene magnitud constante. Además, si \(\vec{E}\) es paralelo a \(hat{n}\) en todas partes de la superficie, entonces \(\vec{E}\cdot \hat{n} = E\). (Si \(\vec{E}\) y \(\hat{n}\) son antiparalelos en todas partes de la superficie, \(\vec{E}\cdot \hat{n} = – E\). La ley de Gauss se simplifica entonces a

donde A es el área de la superficie. Nótese que estas simetrías conducen a la transformación de la integral del flujo en un producto de la magnitud del campo eléctrico y un área apropiada. Cuando se utiliza este flujo en la expresión de la ley de Gauss, se obtiene una ecuación algebraica que se puede resolver para la magnitud del campo eléctrico, que se parece a

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Fórmula del campo eléctrico

Esta es la respuesta que deberíamos obtener si aplicamos la ley de Gauss. Para aplicar la ley de Gauss, basta con rodear la carga puntual con una esfera imaginaria. Para determinar el campo a una distancia r de la carga, la esfera debe tener un radio r, y debe estar centrada en la carga.

Si la carga es positiva, las líneas de campo irradian desde la carga y pasan a través de la esfera perpendicularmente a la superficie de la esfera. Si la carga es negativa, las líneas de campo se dirigirán hacia la carga, pero seguirán atravesando la esfera perpendicularmente a la superficie. La otra cosa importante a tener en cuenta es que la magnitud del campo eléctrico será la misma en cada punto de la esfera, porque cada punto está a la misma distancia de la carga.

En la ley de Gauss, el ángulo entre el campo eléctrico y la línea perpendicular a la superficie (también conocida como la normal a la superficie), que apunta hacia fuera de la superficie. Para una carga positiva, el campo eléctrico está en la misma dirección que la normal, el ángulo entre ellos es 0, y el coseno es 1. Con una carga positiva, E y la normal están en direcciones opuestas, dando un ángulo de 180° y un -1 para el coseno. Como E es constante en toda la superficie, se puede sacar el signo de la suma en la ley de Gauss. En este caso, entonces, la ley de Gauss se convierte en:

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