Variacion de parametros ejercicios resueltos

Variacion de parametros ejercicios resueltos

Sistema de ecuaciones diferenciales con variación de parámetros

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y vimos que, si bien reducía las cosas a un simple problema de álgebra, el álgebra podía llegar a ser bastante desordenada. Además, los coeficientes indeterminados sólo funcionarán para una clase bastante pequeña de funciones.

El método de Variación de Parámetros es un método mucho más general que puede utilizarse en muchos más casos. Sin embargo, el método tiene dos desventajas. En primer lugar, la solución complementaria es absolutamente necesaria para hacer el problema. Esto contrasta con el método de los coeficientes indeterminados, en el que era aconsejable tener la solución complementaria a mano, pero no era necesario. En segundo lugar, como veremos, para completar el método tendremos que hacer un par de integrales y no hay garantía de que podamos hacer las integrales. Así, aunque siempre será posible escribir una fórmula para obtener la solución particular, puede que no seamos capaces de encontrarla realmente si las integrales son demasiado difíciles o si no somos capaces de encontrar la solución complementaria.

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Ejemplo de variación de parámetros

Procedimiento para resolver ecuaciones diferencialesEn matemáticas, la variación de parámetros, también conocida como variación de constantes, es un método general para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no homogéneas.

Para las ecuaciones diferenciales lineales inhomogéneas de primer orden suele ser posible encontrar soluciones a través de factores integradores o coeficientes indeterminados con un esfuerzo considerablemente menor, aunque esos métodos aprovechan la heurística que implica adivinar y no funcionan para todas las ecuaciones diferenciales lineales inhomogéneas.

La variación de los parámetros se extiende también a las ecuaciones diferenciales parciales lineales, concretamente a los problemas no homogéneos de las ecuaciones de evolución lineal, como la ecuación del calor, la ecuación de la onda y la ecuación de la placa vibratoria. En este entorno, el método se conoce más a menudo como principio de Duhamel, llamado así por Jean-Marie Duhamel (1797-1872), que aplicó por primera vez el método para resolver la ecuación del calor no homogénea. A veces, la propia variación de los parámetros se denomina principio de Duhamel y viceversa.

Wikipedia

Recordemos de la página del Método de Variación de Parámetros que si queremos resolver una ecuación diferencial no homogénea de segundo orden que no es adecuada para el método de coeficientes indeterminados, entonces podemos aplicar el método de variación de parámetros muchas veces.

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\N – Comienza{align} \quad u_1′(t) = \frac{\begin{vmatrix} 0 & \sin 3t\\ 9 \sec^2 3t & 3 \cos 3t \end{vmatrix}} {\begin{vmatrix}\cos 3t & \sin 3t\\ -3 \sin 3t & 3 \cos 3t \end{vmatrix}} = \frac{- 9\sin 3t \sec^2 3t }{3 \cos^2 3t+ 3 \sin^2 3t} = – 3\sin 3t \sec^2 3t = -3 \tan 3t \sec 3t \end{align}

\Inicio \quad u_2′(t) = \frac{\begin{vmatrix} \cos 3t & 0\\\\\N-2 \sin 3t & 9 \sec^2 3t \\N-end{vmatrix}} {\begin{vmatrix}\cos 3t & \sin 3t\\\N – 3 \sin 3t & 3 \cos 3t \end{vmatrix}} = \frac{9\cos 3t \sec^2 3t}{3 \cos^2 3t + 3 \sin^2 3t} = 3 \cos 3t \sec^2 3t = 3 \sec 3t \end{align}

\Inicio \quad y(t) = y_h(t) + Y(t) \quad y(t) = C \cos 3t + D \sin 3t -\sec 3t \cos 3t + \ln (\tan 3t + \sec 3t) \sin 3t \quad y(t) = C \cos 3t + D \sin 3t + \ln (\tan 3t + \sec 3t ) – 1 \end{align}

Calculadora de variación de parámetros

el método de los coeficientes indeterminados sólo funciona cuando los coeficientes a, b y c son constantes y el término de la derecha d( x) tiene una forma especial. Si estas restricciones no se aplican a una ecuación diferencial lineal no homogénea dada, entonces se necesita un método más potente para determinar una solución particular: el método conocido como variación de parámetros.

donde y 1 e y 2 son funciones conocidas. El siguiente paso es variar los parámetros; es decir, sustituir las constantes c 1 y c 2 por funciones (aún desconocidas) v 1( x) y v 2( x) para obtener la forma de una solución particular y de la ecuación no homogénea dada:

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El objetivo es determinar estas funciones v 1 y v 2. Entonces, como las funciones y 1 e y 2 ya son conocidas, la expresión anterior para y da una solución particular de la ecuación no homogénea. Combinando y con y h se obtiene la solución general de la ecuación diferencial no homogénea, como garantiza el Teorema B.

Dado que hay dos incógnitas a determinar, v 1 y v 2, se requieren dos ecuaciones o condiciones para obtener una solución. Una de estas condiciones será naturalmente la satisfacción de la ecuación diferencial dada. Pero primero se impondrá otra condición. Dado que y se sustituirá en la ecuación (*), hay que evaluar sus derivadas. La primera derivada de y es

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