Que son las transformaciones lineales

Que son las transformaciones lineales

multiplicación de matrices

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En matemáticas, y más concretamente en álgebra lineal, un mapa lineal (también llamado mapeo lineal, transformación lineal, homomorfismo de espacios vectoriales o, en algunos contextos, función lineal) es un mapeo

entre dos espacios vectoriales que preserva las operaciones de suma de vectores y multiplicación escalar. Los mismos nombres y la misma definición se utilizan también para el caso más general de los módulos sobre un anillo; véase Homomorfismo de módulos.

En el caso de los mapas lineales, un mapa lineal se denomina endomorfismo (lineal). A veces el término operador lineal se refiere a este caso,[1] pero el término «operador lineal» puede tener diferentes significados para diferentes convenciones: por ejemplo, puede utilizarse para destacar que

Un mapa lineal de V a W siempre mapea el origen de V al origen de W. Además, mapea subespacios lineales en V a subespacios lineales en W (posiblemente de una dimensión inferior);[3] por ejemplo, mapea un plano que pasa por el origen en V a un plano que pasa por el origen en W, a una línea que pasa por el origen en W, o simplemente al origen en W. Los mapas lineales pueden representarse a menudo como matrices, y ejemplos sencillos incluyen las transformaciones lineales de rotación y reflexión.

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reglas de la transformación lineal

Una transformación lineal, también conocida como mapa lineal, es un mapeo de una función entre dos módulos que preserva las operaciones de suma y multiplicación escalar. En definitiva, es la transformación de una función Tdesde el espacio vectorial U, también llamado dominio, al espacio vectorial V, también llamado codominio. ( T : U → V ) La transformación lineal tiene dos propiedades adicionales:

El diagrama siguiente ejemplifica una transformación lineal que es aditiva, lo que significa que las funciones se suman. Comenzando en la esquina superior izquierda, la transformación sigue los dos caminos, tal y como se diagrama con las flechas. Las dos expresiones producidas de la transformación lineal son siempre iguales. Observe que mientras T es el nombre de la función, T(u), es el nombre de la salida de la transformación.Crédito de la imagen: https://www.linear.ups.edu

Las transformaciones lineales se utilizan a menudo en aplicaciones de aprendizaje automático. Son útiles en el modelado de animaciones en 2D y 3D, donde el tamaño y la forma de un objeto necesitan ser transformados de un ángulo de visión al siguiente. Un objeto puede girarse y escalarse dentro de un espacio utilizando un tipo de transformaciones lineales conocidas como transformaciones geométricas, así como aplicando matrices de transformación.

espacio vectorial

Recordemos que cuando multiplicamos una matriz \(m veces n\) por un vector columna \(n veces 1\), el resultado es un vector columna \(m veces 1\). En esta sección discutiremos cómo, a través de la multiplicación de matrices, una matriz \(m veces n\) transforma un vector columna \(n veces 1\) en un vector columna \(m veces 1\).

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Recordemos que el vector \(n veces 1\) dado por \vec{x} = \left [ \begin{array}{r} x_1 \\ x_2\\\\ \vdots \ x_n \end{array} \right ]\nnúmero de vectores se dice que pertenece a \mathbb{R}^n\), que es el conjunto de todos los vectores \(n veces 1\). En esta sección, vamos a discutir las transformaciones de los vectores en \(\mathbb{R}^n.\)

Consideremos la matriz \(A = \left [ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\\ 2 & 1 & 0 end{array} \right ] .\) Demostrar que mediante la multiplicación de matrices \NA\Nse transforman vectores en \N(\mathbb{R}^3\) en vectores en \N(\mathbb{R}^2\).

En primer lugar, recordemos que los vectores en (\mathbb{R}^3\) son vectores de tamaño \(3 \times 1\), mientras que los vectores en \(\mathbb{R}^{2}\) son de tamaño \(2 \times 1\). Si multiplicamos \(A\), que es una matriz \(2 \times 3\), por un vector \(3 \times 1\), el resultado será un vector \(2 \times 1\). Esto es lo que queremos decir cuando decimos que \ (A\) transforma vectores.

calculadora de matrices de transformación lineal

En la sección 3.1, estudiamos la geometría de las matrices considerándolas como funciones, es decir, considerando las transformaciones matriciales asociadas. Hemos definido cierto vocabulario (dominio, codominio, rango) y hemos formulado una serie de preguntas naturales sobre una transformación. En el caso de una transformación matricial, éstas se traducen en preguntas sobre las matrices, a las que tenemos muchas herramientas para responder.

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En esta sección, hacemos un cambio de perspectiva. Supongamos que nos dan una transformación que queremos estudiar. Si podemos demostrar que nuestra transformación es una transformación matricial, podemos utilizar el álgebra lineal para estudiarla. Esto plantea dos cuestiones importantes:

Se puede demostrar que, si una transformación se define mediante fórmulas en las coordenadas como en el ejemplo anterior, entonces la transformación es lineal si y sólo si cada coordenada es una expresión lineal en las variables sin término constante.

Encuentra un ejemplo de una transformación que satisfaga la primera propiedad de linealidad pero no la segunda.En la siguiente subsección, presentaremos la relación entre las transformaciones lineales y las transformaciones matriciales. Antes de hacerlo, necesitamos la siguiente notación importante.

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