Propiedades generales de los logaritmos

Propiedades generales de los logaritmos

Propiedades de ln

En cuanto a la tabla que muestra el logaritmo de x para distintos valores de x, fíjate en que log x = log10 x Si no ves la base junto a log, significa siempre que la base es 10. También hemos redondeado a la milésima más cercana.

Ahora, ¿qué notas en los siguientes pares de enunciados?log 2 + log 3 y log (2 x 3)log 4 + log 5 y log (4 x 5)Esto es lo que notamos en ellos.log 2 + log 3 = 0,301 + 0,477 = 0,778 y 0. 778 = log (6) = log (2 x 3)Por lo tanto, log 2 + log 3 = log (2 x 3)Por la misma razón, log 4 + log 5 = 0,602 + 0,699 = 1,301 y 1,301 = log (20) = log (4 x 5)Por lo tanto, log 4 + log 5 = log (4 x 5)

En segundo lugar, ¿qué observas en los siguientes pares de afirmaciones?log (10 / 5) y log 10 – log 5log (8 / 2) y log 8 – log 2Aquí tienes lo que observamos en ellos.log 8 – log 2 = 0,903 – 0,301 = 0. 602 y 0,602 = log (4) = log (8 / 2)Por lo tanto, log 8 – log 2 = log (8 / 2)Por la misma razón,log 10 – log 5 = 1 – 0,699 = 0,301 y 0,301 = log (2) = log (10 / 5)Por lo tanto, log 10 – log 5 = log (10 / 5)

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Propiedades básicas de los logaritmos calculadora

En matemáticas, el logaritmo es la función inversa a la exponenciación. Esto significa que el logaritmo de un número dado x es el exponente al que hay que elevar otro número fijo, de base b, para producir ese número x. En el caso más simple, el logaritmo cuenta el número de ocurrencias del mismo factor en la multiplicación repetida; por ejemplo, como 1000 = 10 × 10 × 10 = 103, el “logaritmo de base 10” de 1000 es 3, o log10 (1000) = 3. El logaritmo de x en base b se denota como logb (x), o sin paréntesis, logb x, o incluso sin la base explícita, log x, cuando no hay confusión posible, o cuando la base no importa, como en la notación big O.

El logaritmo de base 10 (es decir, b = 10) se denomina logaritmo decimal o común y se utiliza habitualmente en ciencia e ingeniería. El logaritmo natural tiene como base el número e (es decir, b ≈ 2,718); su uso está muy extendido en matemáticas y física, debido a que la integral y la derivada son más sencillas. El logaritmo binario utiliza la base 2 (es decir, b = 2) y se utiliza con frecuencia en informática.

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Ejemplos de propiedades de los logaritmos

Recordemos que las funciones logarítmicas y exponenciales se “deshacen” mutuamente. Esto significa que los logaritmos tienen propiedades similares a los exponentes. A continuación se dan algunas propiedades importantes de los logaritmos. En primer lugar, las siguientes propiedades son fáciles de demostrar.

Por ejemplo, para evaluar [latex]\mathrm{log}\left(100\right)[/latex], podemos reescribir el logaritmo como [latex]{\mathrm{log}_{10}\left({10}^{2}\right)[/latex] y luego aplicar la propiedad inversa [latex]{\mathrm{log}}_{b}\left({b}^{x}\right)=x[/latex] to get [latex]{\mathrm{log}}_{10}\left({10}^{2}\right)=2[/latex].

Para evaluar [latex]{e}^{mathrm{ln}\left(7\right)}[/latex], podemos reescribir el logaritmo como [latex]{e}^{{mathrm{log}_{e}7}[/latex] y luego aplicar la propiedad inversa [latex]{b}^{{mathrm{log}_{b}x}=x[/latex] para obtener [latex]{e}^{mathrm{log}7}=7[/latex].

Podemos utilizar la propiedad de uno a uno para resolver la ecuación [latex]{\mathrm{log}_{3}[3x\right)={\mathrm{log}_{3}[2x+5\right)[/latex] para x. Dado que las bases son las mismas, podemos aplicar la propiedad de uno a uno poniendo los argumentos iguales y resolviendo para x:

Hoja de trucos sobre las propiedades de los logaritmos

Los logaritmos y las exponenciales con la misma base se cancelan entre sí. Esto es así porque los logaritmos y los exponenciales son operaciones inversas, del mismo modo que la multiplicación y la división son operaciones inversas, y la suma y la resta son operaciones inversas.

Los logaritmos pueden utilizarse para facilitar los cálculos. Por ejemplo, se pueden multiplicar dos números simplemente utilizando una tabla de logaritmos y sumando. Esto se conoce como propiedades logarítmicas, que se documentan en la siguiente tabla[2] Las tres primeras operaciones que se muestran a continuación suponen que x = bc y/o y = bd, de modo que logb(x) = c y logb(y) = d. Las derivaciones también utilizan las definiciones logarítmicas x = blogb(x) y x = logb(bx).

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Esta identidad es útil para evaluar logaritmos en las calculadoras. Por ejemplo, la mayoría de las calculadoras tienen botones para ln y para log10, pero no todas las calculadoras tienen botones para el logaritmo de una base arbitraria.

{\displaystyle \log _{b}\\a}{limits _{i=0}^{N}a_{i}=\log _{b}a_{0}+log _{b}{left(1+\a}{limits _{i=1}^{N}{frac {derecha)=log _{b}a_{0}+log _{b}izquierda(1+suma de los límites _{i=1}^{N}b^{izquierda(\log _{b}a_{i}- \(1+suma de los límites _{i=1}^N}b^ {Izquierda (log _{b}a_{i}-))

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