Limites calculo diferencial ejemplos

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Fundamentos del cálculo diferencial

En matemáticas, el cálculo diferencial es un subcampo del cálculo que estudia las tasas de cambio de las cantidades[1]. Es una de las dos divisiones tradicionales del cálculo, la otra es el cálculo integral, el estudio del área bajo una curva[2].

Los principales objetos de estudio del cálculo diferencial son la derivada de una función, nociones relacionadas como la diferencial y sus aplicaciones. La derivada de una función en un valor de entrada elegido describe la tasa de cambio de la función cerca de ese valor de entrada. El proceso de encontrar una derivada se llama diferenciación. Geométricamente, la derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto, siempre que la derivada exista y esté definida en ese punto. Para una función de valor real de una sola variable real, la derivada de una función en un punto determina generalmente la mejor aproximación lineal a la función en ese punto.

La derivación tiene aplicaciones en casi todas las disciplinas cuantitativas. En física, la derivada del desplazamiento de un cuerpo en movimiento con respecto al tiempo es la velocidad del cuerpo, y la derivada de la velocidad con respecto al tiempo es la aceleración. La derivada del momento de un cuerpo con respecto al tiempo es igual a la fuerza aplicada al cuerpo; reordenando este enunciado de la derivada se obtiene la famosa ecuación F = ma asociada a la segunda ley del movimiento de Newton. La velocidad de una reacción química es una derivada. En la investigación de operaciones, las derivadas determinan las formas más eficientes de transportar materiales y diseñar fábricas.

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Ecuación diferencial

Como el cálculo diferencial se basa en la definición de la derivada, y la definición de la derivada implica un límite, hay un sentido en el que todo el cálculo se basa en los límites. Además, el límite involucrado en la definición de límite de la derivada es uno que siempre genera una forma indeterminada de \frac{0}{0}\). Si \(f\) es una función diferenciable para la que existe \(f’ (x)\N, entonces cuando consideramos:

resulta que no sólo existe \(h → 0\) en el denominador, sino también \((f (x + h) – f (x)) → 0 \) en el numerador, ya que \(f\) es continua. Por tanto, la forma fundamental del límite que interviene en la definición de \(f'(x)\N es \N(\Nfrac{0}{0}\N). Recordemos que decir que un límite tiene una forma indeterminada sólo significa que aún no conocemos su valor y que tenemos más trabajo que hacer: de hecho, los límites de la forma \frac{0}{0}\) pueden tomar cualquier valor, como se pone de manifiesto al evaluar \(f'(x)\frac) para distintos valores de x para una función como \(f'(x) = x^2\frac).

Por supuesto, hemos aprendido muchas técnicas diferentes para evaluar los límites que resultan de la definición de la derivada, e incluyendo un gran número de reglas de atajo que nos permiten evaluar estos límites rápida y fácilmente. En esta sección, le damos la vuelta a la situación: en lugar de utilizar los límites para evaluar las derivadas, exploramos cómo utilizar las derivadas para evaluar ciertos límites. Este tema combinará varias ideas diferentes, incluyendo límites, atajos de derivadas, linealidad local y la aproximación de la línea tangente.

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Qué es el límite en el cálculo diferencial

En matemáticas, un límite es el valor al que se aproxima una función (o secuencia) a medida que la entrada (o índice) se acerca a algún valor[1] Los límites son esenciales para el cálculo y el análisis matemático, y se utilizan para definir la continuidad, las derivadas y las integrales.

Augustin-Louis Cauchy en 1821,[4] seguido por Karl Weierstrass, formalizó la definición del límite de una función que se conoció como la definición (ε, δ) de límite. La definición utiliza ε (la letra griega minúscula épsilon) para representar cualquier número positivo pequeño, de modo que «f(x) se acerca arbitrariamente a L» significa que f(x) se encuentra finalmente en el intervalo (L – ε, L + ε), que también puede escribirse utilizando el valor absoluto como |f(x) – L| < ε. [4] La frase «a medida que x se acerca a c» indica entonces que nos referimos a valores de x cuya distancia a c es menor que algún número positivo δ (la letra griega minúscula delta), es decir, valores de x dentro de (c – δ, c) o (c, c + δ), lo que puede expresarse con 0 < |x – c| < δ. La primera desigualdad significa que x ≠ c, mientras que la segunda indica que x está dentro de la distancia δ de c.[4]

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El cálculo es una de las ramas más importantes de las matemáticas que se ocupa de los cambios continuos. Los dos conceptos principales en los que se basa el cálculo son las derivadas y las integrales. La derivada de una función es la medida de la tasa de cambio de una función, mientras que la integral es la medida del área bajo la curva de la función. La derivada da la explicación de la función en un punto concreto, mientras que la integral acumula los valores discretos de una función en un rango de valores.

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El cálculo también se denomina cálculo infinitesimal o «cálculo de infinitesimales». Los números infinitesimales son las cantidades que tienen un valor casi igual a cero, pero no exactamente cero. En general, el cálculo clásico es el estudio del cambio continuo de las funciones.

El cálculo se centra en algunos temas importantes de las matemáticas, como la diferenciación, la integración, los límites, las funciones, etc. El cálculo, una rama de las matemáticas, se ocupa del estudio de la tasa de cambio, fue desarrollado por Newton y Leibniz.

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