Integracion por cambio de variable trigonometrica

Integracion por cambio de variable trigonometrica

Cambio de variables

En matemáticas, la sustitución trigonométrica es la sustitución de funciones trigonométricas por otras expresiones. En cálculo, la sustitución trigonométrica es una técnica para evaluar integrales. Además, se pueden utilizar las identidades trigonométricas para simplificar ciertas integrales que contienen expresiones radicales.[1][2] Al igual que otros métodos de integración por sustitución, cuando se evalúa una integral definida, puede ser más sencillo deducir completamente la antiderivada antes de aplicar los límites de la integración.

{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{sqrt {4-x^{2}},dx&=int _{-\pi /6}^{{\pi /6}{sqrt {4-4\sin ^{2}\theta }}, (2\cos \theta )\theta \theta[6pt]&=\int _{-\pi /6}^{{\pi /6}} {\sqrt {4(1-\sin ^{2}\theta )}}, (2\cos \theta )\N-, d\theta [6pt]&=\int _{-\pi /6}^{{\pi /6} {{cuadrado} {4(\2}\theta )},(2\cos \theta )\N-, d\theta [6pt]&=\int _{-\pi /6}^{{\pi /6}(2\cos \theta )(2\cos \theta )\N-, d\theta \\\\\theta[6pt]&=4\int _{-pi /6}^{\pi /6}\cos ^{2}\theta \theta,d\theta \theta[6pt]&=4\int _{-pi /6}^{\\pi /6}\theta izquierda({\frac {1+\cos 2\theta }{2}\theta derecha)\theta,) d\theta \\\\\theta[6pt]&=2\theta izquierda[\theta +{{frac {1}{2}}sin 2\theta \\theta derecha]_{-\pi /6}^{{\pi /6}=[2\theta +{{sin 2\theta ]\ {{Biggl |}{- \pi /6}^{\pi /6}[6pt]&=Izquierda({\frac {\pi }{3}}+\sin {\frac {\pi }{3}}\right)-Izquierda(-{{\frac {\pi }{3}}+\sin {\left(-{\frac {\pi }{3}\right)\i ={{2\pi }{3}+{{cuadrado {3}}. \Fin.

Evaluar la integral haciendo un cambio de variables adecuado

En matemáticas, la sustitución trigonométrica es la sustitución de funciones trigonométricas por otras expresiones. En cálculo, la sustitución trigonométrica es una técnica para evaluar integrales. Además, se pueden utilizar las identidades trigonométricas para simplificar ciertas integrales que contienen expresiones radicales.[1][2] Al igual que otros métodos de integración por sustitución, cuando se evalúa una integral definida, puede ser más sencillo deducir completamente la antiderivada antes de aplicar los límites de la integración.

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{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{sqrt {4-x^{2}},dx&=int _{-\pi /6}^{{\pi /6}{sqrt {4-4\sin ^{2}\theta }}, (2\cos \theta )\theta \theta[6pt]&=\int _{-\pi /6}^{{\pi /6}} {\sqrt {4(1-\sin ^{2}\theta )}}, (2\cos \theta )\N-, d\theta [6pt]&=\int _{-\pi /6}^{{\pi /6} {{cuadrado} {4(\2}\theta )},(2\cos \theta )\N-, d\theta [6pt]&=\int _{-\pi /6}^{{\pi /6}(2\cos \theta )(2\cos \theta )\N-, d\theta \\\\\theta[6pt]&=4\int _{-pi /6}^{\pi /6}\cos ^{2}\theta \theta,d\theta \theta[6pt]&=4\int _{-pi /6}^{\\pi /6}\theta izquierda({\frac {1+\cos 2\theta }{2}\theta derecha)\theta,) d\theta \\\\\theta[6pt]&=2\theta izquierda[\theta +{{frac {1}{2}}sin 2\theta \\theta derecha]_{-\pi /6}^{{\pi /6}=[2\theta +{{sin 2\theta ]\ {{Biggl |}{- \pi /6}^{\pi /6}[6pt]&=Izquierda({\frac {\pi }{3}}+\sin {\frac {\pi }{3}}\right)-Izquierda(-{{\frac {\pi }{3}}+\sin {\left(-{\frac {\pi }{3}\right)\i ={{2\pi }{3}+{{cuadrado {3}}. \Fin.

Cambio de variable en la integral indefinida

En cálculo, la integración por sustitución, también conocida como sustitución en u o cambio de variables,[1] es un método para evaluar integrales y antiderivadas. Es la contraparte de la regla de la cadena para la diferenciación, y se puede pensar vagamente como el uso de la regla de la cadena “al revés”.

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que sugiere la fórmula de sustitución anterior. (Esta ecuación puede ponerse en una base rigurosa interpretándola como una afirmación sobre las formas diferenciales). Se puede considerar el método de integración por sustitución como una justificación parcial de la notación de Leibniz para integrales y derivadas.

La fórmula se utiliza para transformar una integral en otra integral más fácil de calcular. Así, la fórmula puede leerse de izquierda a derecha o de derecha a izquierda para simplificar una integral dada. Cuando se utiliza de la primera manera, a veces se conoce como sustitución en u o sustitución en w, en la que se define una nueva variable que es una función de la variable original que se encuentra dentro de la función compuesta multiplicada por la derivada de la función interior. Esta última forma se utiliza habitualmente en la sustitución trigonométrica, sustituyendo la variable original por una función trigonométrica de una nueva variable y la diferencial original por la diferencial de la función trigonométrica.

Variable de integración

Hasta ahora hemos visto que a veces ayuda sustituir una subexpresión de una función por una sola variable. En ocasiones puede ayudar sustituir la variable original por algo más complicado. Esto parece una sustitución “inversa”, pero en realidad no es diferente en principio de la sustitución ordinaria.

Nos gustaría sustituir \(\ds \sqrt{cos^2 u}\) por \cos u}, pero esto sólo es válido si \cos u) es positivo, ya que \ds \sqrt{cos^2 u}\ es positivo. Consideremos de nuevo la sustitución \(x=\sin u\text{.}\) Podríamos pensar en ella como \(u=\arcsin x\text{.}\}) Si lo hacemos, entonces por la definición del arcoseno, \(-\pi/2\le u\le\pi/2\text{,}\}) por lo que \(\cos u\ge0) y por lo tanto se nos permite continuar y realizar la simplificación:

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Las tres sustituciones trigonométricas comunes son el seno restringido, la tangente restringida y la secante restringida. Así, para el seno utilizamos el dominio \([-\pi/2,~\pi/2]\) y para la tangente utilizamos \((-\pi/2,~\pi/2)\text{.}) Dependiendo de la convención elegida, la función secante restringida suele definirse de una de estas dos maneras.

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